Обработка результатов эксперимента

3. 3. 2.

Метод наименьших квадратов В методе средних при определении коэффициентов уравнения использовалось условие равенства нулю алгебраической суммы отклонений результатов эксперимента от теоретической кривой в частном случае прямой . Очевидно, что при этом i могут быть значительной величины. Имеет значение только уравновешивание положительных и отрицательных отклонений.

Поставим теперь задачу нахождения по результатам наблюдений наиболее вероятные значения неизвестных коэффициентов. Предположим, что искомая зависимость y х существует. Тогда параметры этой линии необходимо выбрать таким образом, чтобы точки yi располагались по обе стороны кривой y х как можно ближе к последней.

Предположим, что разброс точек yi относительно y х подчиняется закону нормального распределения. Тогда мерой разброса является дисперсия 2 или ее приближенное выражение средний квадрат отклонений И требование минимального разброса будет удовлетворено, если минимизировать выражение yi 2. Как известно, необходимым условием того, что функция приобретает минимальное значение, является то, что ее первая производная или частные производные для функции многих переменных равна нулю.

Применение метода наименьших квадратов имеет смысл, если число экспериментальных точек n больше числа определяемых коэффициентов. Рассмотрим реализацию метода наименьших квадратов применительно к уравнению вида y ax b. Для нахождения коэффициентов а, b искомой прямой необходимо минимизировать сумму квадратов расстояний yi по ординате от точки хi yi до прямой см.

рис. 12 . Расстояния yi определятся yi yi axi b.

Для минимизации приравниваем к нулю производные этой суммы по параметрам а, b . Преобразуем эту систему Получим систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов. Решая ее относительно а, b получаем .

Вычисляя из n опытов необходимые суммы и производя указанные действия, получаем величину коэффициентов а, b.